Download Boolesche Algebra und ihre Anwendungen by John Eldon Whitesitt PDF

By John Eldon Whitesitt

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The legislation of concept" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden platforms der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of inspiration" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders intestine eignet.

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Satz 1. X und Y seien beliebige Mengen. Dann gilt: n(X+Y) = n(X)+n(Y)-n(XY). Beweis. Da XY und XY' disjunkte Mengen sind und X = XY +XY' ist, ergibt sich n(X) = n(XY) + n(XY'). Analog ist n(Y) = n(XY) + n(X'Y). Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, bekommen wir n(X) +n(Y) = n(XY') +n(X'Y) +2n(XY) oder n(XY') + n(X'y)= n(X) n(Y) - 2n(XY). Nun sehen wir aber, daB XY', X'Y und XY disjunkte Mengen sind, flir welche gilt: X+Y = X(Y+Y') + Y(X+X') = XY+XY'+XY+X'Y = XY+XY'+X'Y. + 23 + Daher ist n(X+Y) = n(XY) n(XY')+n(X'Y) und, indem wir das Obige einsetzen, n(X+ Y) = n(X) + n(Y) - n(XY), was zu beweisen war.

Man zeige, daB die Menge B, die nur aus 0 und 1 allein besteht, zusammen mit den in den folgenden Tafeln definierten binaren Operationen eine Boolesche Algebra ist. + I TI-o--0 o o o o 0 3. Man beweise fUr jede Boolesche Algebra: a+a'b = a+b~ fUr jedes Paar von Elementen a und b. 4. Man beweise, daB aus a+x = b+x und a+x' = b+x' folgt: a = b. (Anleitung: vgI. den Beweis von Satz 5) ] 5. Man beweise, daB aus ax = bx und ax' = bx' die Gleichung a = b folgt. 6. Man beweise, daB fUr beliebige a, b und c in einer Booieschen Algebra die 1'01genden vier Ausdriicke einander gleich sind: a) (a +b)(a' +c)(b +c) c) (a+b)(a' +c) b) ac+a'b+bc d) ac+a'b.

Eine analoge Vorschrift benutzt man, urn die Funktion von konjunktiver auf disjunktive Normalform zu bringen. Ubungen 1. Man bringe die folgenden Ausdriicke in konjunktive Normalform mit der kleinstmoglichen Anzahl von Variablen: b) xy' +xz+xy a) x+x'y c) (u+v+w)(uv+u'w), d) xyz+(x+y)(x+z) e) (x'y+xy'z+xyz' +x'y'z't+t'Y f) (x+y')(y+z')(z+ x') (x' +y') g) (x+y)(x+y') (x' +z) h) x'yz +xy'z' +x'y'z+x'yz' +xy'z +x'y'z' 2. Man schreibe die Faktoren der vollstiindigen konjunktiven Normalform in x, y und z aus.

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