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By Ina Kersten

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Algebra: A Text-Book of Determinants, Matrices, and Algebraic Forms

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Wm ∈ V mit m > n sind linear unabh¨angig. 8 mit v = w1 an, erh¨alt man eine neue Basis {v1 , . . , vj−1 , w1 , vj+1 , . . , vn } Man kann dann w2 schreiben als w2 = λ1 v1 + · · · + λj−1 vj−1 + µ1 w1 + ur den λj+1 vj+1 + · · · + λn vn mit λi , µ1 ∈ K. Dabei gibt es einen Index k, f¨ λk = 0 gilt (denn sonst w¨are w2 −µ1 w1 = 0 im Widerspruch zur Annahme). 8 auf die neue Basis mit v = w2 und j = k an, so bekommt man eine Basis von V , die w1 , w2 und nur noch n − 2 Vektoren aus B enth¨ alt.

UV2 Sind u, v ∈ kern f , dann ist f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 + 0 = 0 und damit ist auch u + v ∈ kern(f ) UV3 Ist u ∈ kern(f ) und λ ∈ K, dann ist f (λu) = λf (u) = λ0 = 0 und deshalb ist mit u auch λu ∈ kern(f ). Satz. Seien V, W zwei K-Vektorr¨ aume, und sei f : V −→ W eine K-lineare Abbildung, dann gilt: f : V −→ W ist injektiv genau dann, wenn kern(f ) = {0} Beweis. =⇒ Sei f injektiv. Zu zeigen ist, dass kern(f ) = {0} gilt. F¨ ur jedes v ∈ kern(f ) gilt f (v) = 0 = f (0) und also v = 0 .

S ∈ K mit f (v) = µ1 f (v1 ) + · · · + µs f (vs ), da f (v1 ), . . , f (vs ) Basis von bild(f ), =⇒ f (v) = f (µ1 v1 + · · · µs vs ), da f K-linear =⇒ v − µ1 v1 − · · · − µs vs ∈ kern(f ) =⇒ v − µ1 v1 − · · · − µs vs = λ1 u1 + · · · + λr ur mit λ1 , . . 8 Folgerung aus der Dimensionsformel 53 da u1 , . . , ur Basis von kern(f ) ist. Damit ist v Linearkombination der Elemente aus B. 8 Folgerung aus der Dimensionsformel Korollar. Seien V und W zwei endlich dimensionale K-Vektorr¨aume, und es gelte ur jede K-lineare Abbildung f : V −→ W dimK V = dimK W .

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