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By Conte A. (ed.)

Lecture notes in arithmetic No.947

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Sei z E lD 1 + lD 2. Folglich gibt es Xi E lD i, i = 1, 2, derart, daß Z =xl + X2. wp.. EJ also eine endliche Linearkombination von Elementen aus ffi 1 U ffi 2. Sind nun Bi Basen von lDi, i = 1, 2, dann ist danach BI U B2 ein Erzeugendensystem von lD l EI) lD 2. Zu zeigen bleibt, daß BI U B2 linear unabhängig ist. ljWj. ljWj = 0 j=1 sein, woraus wegen der linearen Unabhängigkeit von B1 und B2 sofort Ai = 0 'V i und = 0 'V j folgt. 7 ist der R3 dargestellt als direkte Summe einer Ebene lD 1 und einer Geraden 1»2 (die beide durch 0 gehen, da lD 1 und lD 2 Vektorräume sind).

1]). Somit gilt hier, da -1'" cos ~ '" 1 'V ~ E R, l

Der Beweis ist konstruktiv. d. h. aus ihm läßt sich das Sc h mi d t • sc h e Ort h 0 n 0 r m i e run g s ver f a h ren direkt entnehmen. 30 Sei l;) ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Ist A = {Vi> V2. V3 •... } C l;) eine linear unabhängige endliche oder abzählbare Teilmenge. dann läßt sich daraus ein ONS B ={Wb W2. W3 •... } C l;) erzeugen. Beweis: Ist A endlich. dann sei K die Anzahl Elemente von A. Ist A abzählbar unendlich. dann setzen wir K = 00. Wir nehmen an. es sei K ~ I; denn sonst wäre A leer und wir hätten nichts zu zeigen.

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