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By Frenkel D., Portugal R.

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Algebra: A Text-Book of Determinants, Matrices, and Algebraic Forms

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Lipka, Mat. termeszett. Ertes. 53, 149-154 (1935); Jahresber. DMV. 52, 204-217 (1942). 106) S. Lipka, Math. Zeitschr. 47, 343-351 (1941). Weitere Verallgemeinerung: N. Obreschkoff, Doklady Akad. Nauk USSR, n. Ser. 85, 489-492 (1952). 107) I. J. Schoenberg, Duke Math. Journal2, 84-94 (1936); N. Obreschkoff, Jahresber. DMV. 33, 52-64 (1924). 40, 8 Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten Die genaue Anzahl der reellen Nullstellen eines reellen Polynoms f(z) in einem vorgegebenen Intervall cx < z < ß bestimmt der Satz von Man bildet zu diesem Zwecke zum Polynom f(z), von dem 0.

Bnzn ist vom Graden, wenn Ian I+ Ibn I von Null verschieden ist; eine A-Stelle der Funktion R(z) ist dann Nullstelle des Polynoms h(z) = g(z)- Af(z). Ist cx Nullstelle und ß Pol von R (z), ferner lAI< IYI y=-;i~~' mit so besitzt R(z) wenigstens eine A-Stelle im Kreisgebiet 1 I z-~ 1. jz-ßi < ! n I y ' oder es liegen sämtliche A-Stellen auf dem Rande des Gebietes. Im Falle enthält auch das zur Strecke cx ß gehörige Kreisbogenzweieck 6 (cxß ; :~) eine A-Stelle der Funktion R(z) in seinem Innern, oder es liegen sämtliche A-Stellen auf dem Rande.

Arm. 65, 413---423 (1908). 83) Arm. Ec. norm. sup. (3) 40, 1-34 (1933). 8, 33 12. Das Problem von Landau-Montel vom Grade n mindestens p Nullstellen in einem Kreisbereich lz I< RP besitzt, dessen Radius RP = RP (a0 , av ... , aP; k) nur von den ersten Koeffizienten und der Anzahl k der nachfolgenden Glieder abhängt. Noch weitergehend ist der nachfolgende Satz von P. Montel und R. Ballieu 84 ): Sind f(z) und g(z) komplexe Polynome der Grade 0 < p < q und bezeichnet 0 < m 1 < m 2 < ... < mk eine beliebige Reihe von k ganzen Zahlen, so existiert für jede Anzahl h < p eine nur von den Koeffizienten der Polynome f(z), g(z) und der Anzahl k abhängige Schranke Rh= Rh(f(z), g(z); k), derart daß jedes Polynom der Gestalt mindestens h Nullstellen im Kreisbereich Iz I < Rh besitzt.

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