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By Kenneth Hoffman and Ray Kunze Editorial

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Algebra: A Text-Book of Determinants, Matrices, and Algebraic Forms

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I (_ OC) = 0; 4. una regla (u operación), llamada multiplicación escalar, que asocia a cada escolar c de F y cada vector ot de V a un vector con en V, llamado producto de c y 1. de tal modo que: (a) (b) (c) (d) lot = ot para todo oz de V; (c1cz)oc = c,(czot); c(ot + Ii) = ca + cfi; (c, + cz)ot = clon + czot_ Es importante observar, como la definición establece, que un espacio vec- iorial es un objeto compuesto que consta de un cuerpo, de un conjunto de «vectores» y de dos operaciones con ciertas propiedades especiales.

Lijemplo 6. (a) Si V es cualquier espacio vectorial, V es un subespacio de V; el subtoujunto que consta solo del vector nulo es un subespacio vectorial de V, llamado subespacio nulo de V*. (b) En F", el conjunto de los n-tuples (xl, _ _ _ , x,,) con xl = 0 es un subespacio, pero el conjunto de los n-tuples con x, = l + xz no es un subespauo (n 2 2). (c) El espacio de las funciones polinomios sobre el cuerpo F es un subespacio del espacio de todas las funciones de F en F. td) Una matriz (cuadrada) n x n, sobre el cuerpo F es simétrica si AU- = A¡¡ para todo i y j.

Teorema 1. Un subconjunto no vacio W de V es un subespacio de V si, y solo si, para todo par de vectores ot, B de W y todo escalar c de F, el vector ca + B está en W. Demostración. s' 35 qm- «fx + /l pertenezca a W para todos los vectores ot, B de W y todos los escalmvs r dc I-'_ Como W no es vacio, existe un vector p en W, y, por tanto, (-1)p + ,› U está en W. Ahora bien, si ot es cualquier vector de W y c cualquier escalar, rl vector ca = ca + 0 está en W. En particular, (- l)a = -ot está en W.

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