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By Mary Jane Sterling

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Example text

Haufig ist es aber gerade bei groJ3en Gleichungssystemen, die im Verlauf einer komplizierten Rechnung als Zwischenresultat anfallen, schwierig oder unmoglich, von vornherein zu entscheiden, ob die Matrix regular oder gar positiv definit ist. Ein gutes numerisches Verfahren priift deshalb wahrenddes Losungsprozesses selbst, ob die benotigten Voraussetzungen (oder modifizierte Voraussetzungen, die RundungsfeWer beriicksichtigen) gesichert sind. 1m folgenden untersuchen wir Zusammenhange zwischen einigen der aufgezahlten Eigenschaften.

2. 4. (strenge Regularitat diagonal dominanter Matrizen). Eine streng diagonal dominante Matrix ist streng regular. Beweis. Wir zeigen zunachst durch einen indirekten Beweis, daJ3 jede diagonal dominante Matrix regular ist. Ware namlich A singular, so hatte das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 eine nichttriviale (also yom Nullvektor verschiedene) Losung x. 40), konnten wir x so normieren, daJ3 seine betragsmaJ3ig groJ3te Komponente den Wert Eins hat, x" = 1, Ixnl < 1 , n = 1(I)N . :.. 2.

B. die EC 1055M, die CRAY-I oder die CYBER 205, vgl. SCfl()NAUER [I]). Das lineare Gleichungssystem (I) laJ3t'sich geometrisch interpretieren. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade (N = 2), Ebene (N = 3) oder Hyperebene (N 3). Losung ist jeder Punkt re des N-dimensionalen linearen Raumes IR N , der allen M Geraden (Ebenen, Hyperebenen) angehOrt. Daraus folgt, daJ3 (I) unlosbar (inkonsistent, widerspriichlich) sein und- im lOsbaren (konsistenten) Fall entweder genau eine oder unendich viele Losungen besitzen kann.