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By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der web site) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

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2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ak , . . Wiederholungen auftreten, d. , es existieren i, j ∈ N, o. E. j > i, mit ai = aj und folglich aj−i = e. Also gilt e ∈ U , und wegen aj−i = a aj−i−1 = e liegt auch a−1 = aj−i−1 in U . Vorsicht. Die (unendliche) Menge N der natürlichen Zahlen bildet eine Unterhalbgruppe, aber keine Untergruppe von (Z, +). 3 Beispiele von Untergruppen Es folgen weitere zahlreiche Beispiele von Gruppen – Untergruppen sind nämlich insbesondere Gruppen. 2 Für jede nichtleere Menge X werden die Untergruppen von SX Permutationsgruppen genannt.

38 Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind. Der Weg zum Beweis dieses Satzes von Lagrange führt über sogenannte Nebenklassen a U . Mit Nebenklassen ist man eigentlich aus der Linearen Algebra vertraut: Die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind nämlich ebenfalls Nebenklassen a + U . Ebenfalls aus der Linearen Algebra bekannt ist der Begriff eines Erzeugendensystems.

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