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By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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The classical notation for this t is α(s). One calls this the image of s under α. In many books on algebra (including our previous ones) we find the notations sα and sα for α(s). This has advantages when we deal with the composite of maps. However, since the consensus clearly favors the classical notation α(s), we have decided to adopt it in this book. 32 Two maps are regarded as equal if and only if they have the same domain, the same co-domain and the same graphs. 3 If A is a subset of S, then we write α(A) = {α(a)|a ∈ A} and call this the image of A under α.

Moreover, the relation between E and π are reciprocal in the sense that πEπ = π and EπE = E. First, suppose E is given. If a ∈ S we let E (or simply ) = {b ∈ S|bEa}. We call E the equivalence class (relative to E or E-equivalence class) determined by a. In the first example considered in the last paragraph, the equivalence class E is the horizontal line through a and in the second, the equivalence class is the circle through a having center O: In both examples it is apparent that the set of equivalence classes is a partition of the plane.

For any infinite set there always exist bijective maps onto proper subsets. If S and T are finite sets then |S × T| = |S||T| and |ST| = |S||T| where ST is the set of maps of T into S. 64 An important result on cardinal numbers of infinite sets is the Schröder-Bernstein theorem: If we have injective maps of S into T and of T into S then |S| = |T|. 1 For a general reference book on set theory adequate for our purposes we refer the reader to the very attractive little book, Naive Set Theory. by Paul R.

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